Récurrence et multiple - Corrigé

Énoncé

Montrer par récurrence que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) , \(13^n-2^n\) est un multiple de \(11\) .

Solution

Montrons par récurrence que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) , \(13^n-2^n\) est un multiple de \(11\) , c'est-à-dire qu'il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(13^n-2^n=11k\) .

Initialisation
Pour \(n=0\) , on a  \(13^n-2^n=13^0-2^0=1-1=0\) qui est un multiple de  \(11\) car \(0=11 \times 0\) .

Hérédité
Soit \(n \in \mathbb{N}\) tel qu'il existe \(k \in \mathbb{Z}\) vérifiant \(13^n-2^n=11k\) .
On a alors :  \(13^{n+1}-2^{n+1} =13 \times 13^n-2 \times 2^n\) .
Or \(13^n=11k+2^n\) par hypothèse de récurrence, donc :
\(\begin{align*}13^{n+1}-2^{n+1} & =13 \times (11k+2^n)-2 \times 2^n\\ & =13 \times 11k + 13 \times 2^n - 2 \times 2^n \\ & =13 \times 11k +11 \times 2^n\\ & =11 \times (13k+2^n) \\ & = 11k' \end{align*}\)
avec \(k'=13k+2^n \in \mathbb{Z}\) .

Conclusion
Pour tout \(n \in \mathbb{N}\) , \(13^n-2^n\) est un multiple de \(11\) .